Расчет лестницы – онлайн-калькулятор с чертежами и 3D

Расчет лестницы на второй этаж в частном доме

Лестница — это не просто функциональный элемент, соединяющий различные уровни в пространстве, это неотъемлемая часть архитектурного облика любого здания, сочетающая в себе важные аспекты безопасности, комфорта и эстетики.

При этом проектирование лестницы требует тщательного подхода к расчету размеров, подбору оптимальных размеров элементов конструкции в соответствии строительных норм и правил.

В данной статье мы рассмотрим ключевые принципы расчета и проектирования лестниц, проанализируем нормы и стандарты, а также предоставим практические рекомендации по подбору оптимальных параметров для лестниц различных типов.

• Элементы лестницы
• Виды лестниц
  • Лестницы по углу поворота
  • Лестницы по конструкции поворота
• Основные принципы проектирования лестницы
  • Угол наклона лестницы
  • Расчет ступеней лестницы
  • Формула удобной лестницы
  • Высота прохода
  • Ширина марша
  • Подступенки
• Размеры проема под лестницу
• Расчет лестницы по проему
  • Расчет прямой лестницы
  • Расчет лестницы с площадкой
  • Расчет лестницы с забежными ступенями
• Расчет нагрузки на лестницу
  • Расчет нагрузки на косоуры
    • Длина косоура
    • Сбор нагрузок на лестницу
    • Расчет косоура на прочность и изгиб
    • Минимальная ширина косоура
• Толщина ступеней лестницы
• Ограждение лестницы
• Нормативные документы для проектирования лестниц

Из чего состоит лестница? Основные элементы

Конструктивно лестница состоит из двух основных элементов, которые присутствуют во всех проектах без исключения. Это:

• Ступени. Горизонтальные элементы, на которые опирается нога при подъеме или спуске по лестнице.
• Косоуры (тетива). Несущие балки, идущие под углом вдоль всей лестницы и поддерживающие ступени.

Косоур

Тетива

При этом в зависимости от особенностей конфигурации и используемых материалов, лестница также может оснащаться дополнительными деталями и узлами, такими как:

• Подступенки. Вертикальные элементы между ступенями, образующие заднюю часть каждой ступени.
• Площадки. Горизонтальные платформы, образующие перекрытие между двумя участками лестницы и служащие для изменения направления лестницы.
• Забежные ступени. Или иначе поворотные ступени, имеющие треугольно-трапециевидную форму и используются в местах поворота/разворота лестницы.
• Балки жесткости. Элементы жесткости конструкции, соединяющие несущие узлы и перераспределяющие нагрузку между ними (при наличии подступенков, особой необходимости в них нет, т.к. они несут аналогичную функцию).
• Опорные столбы. Вертикальные опорные стойки, устанавливаемые вдоль лестницы, которые передают значительную часть нагрузки от всей конструкции на пол.
• Балюстрада. Или иначе ограждение, включает в себя балясины (вертикальные стойки) и поручни (горизонтальные или наклонные стойки, за которые держится рука).

Элементы деревянной лестницы

Но и это не все лестничные термины, которые необходимо знать при проектировании, вам также обязательно встретятся понятия:

• Лестничный проем. Это пространство, выделенное для установки лестницы, которое включает отверстие в перекрытии верхнего этажа, высоту от пола до пола верхнего этажа и доступную площадь на нижнем этаже.
• Марш. Или иначе пролет, т.е. наклонная часть лестницы, которая содержит последовательность ступеней, подступенков, ограждения, в рамках одного комплекта косоуров.
• Ширина марша. Горизонтальное расстояние между наружными границами марша. Во всех случаях ширина марша равна длине прямых ступеней, за исключением лестниц на тетивах (поскольку ступени врезаны внутрь тетивы).
• Уклон лестницы. Угол наклона лестницы относительно горизонтальной поверхности. Измеряется в градусах и определяет степень крутизны лестницы.
• Линия хода. Срединная линия лестницы, по которой наиболее удобно передвигаться.
• Выступ края ступени. Или иначе свес ступени, определяется как расстояние по горизонтали, на которое передняя кромка верхней ступени свисает над нижней (выступ спереди), или боковая кромка свисает над косоуром (выступ сбоку).
• Проступь. Горизонтальная часть поверхности ступени, которая рассчитывается как расстояние от переднего края одной ступени до переднего края следующей.
• Ширина ступени. Или иначе глубина ступени, расстояние от одного края одной ступени до другого края по узкой стороне. В отличие от проступи, ширина ступени также включает свес и пространство под подступенком.
• Длина ступени. Расстояние от одного края одной ступени до другого края по длиной стороне. Длина прямых ступеней равна ширине марша (справедливо только для лестниц на косоурах).
• Высота ступени. Вертикальное расстояние от верхней поверхности одной ступени до верхней поверхности другой.

Виды лестниц

Выбор типа лестницы для частного дома чаще всего зависит от индивидуальных предпочтений, доступного пространства и бюджета. Сами лестницы можно классифицировать по различным параметрам, включая материалы, угол поворота, конструкцию поворота, количество маршей, количество косоуров и т.д. Ниже рассмотрим наиболее распространенные варианты, которые могут удовлетворить потребности большинства пользователей.

Лестницы по углу поворота

Прямые лестницы. Это самый простой и распространенный вид лестниц. Они идут прямо от одного уровня к другому без поворотов. Наиболее удобные, но и одновременно наиболее громоздкие лестницы.

Г-образные лестницы. Состоят из двух прямых маршей (как правило, неравноценных по длине), образующих угол в 90 градусов. Марши соединяются площадкой или забежными ступенями. Оптимальный вариант, если проем достаточно длинный, но не позволяет вместить полноценную прямую лестницу.

П-образные лестницы. Состоят из двух или трех прямых маршей, которые образуют один поворот на 180° или два по 90°, соответственно. Двухпролетные лестницы с поворотом на 180° являются одними из самых компактных маршевых лестниц, но в угоду размеру часто приходится жертвовать комфортом при эксплуатации в будущем.

Винтовые лестницы. Имеют непрерывную круговую форму и вращаются вокруг центрального столба, обычно с углом поворота на 360 градусов и более, относительно входа и выхода. Максимально компактные, но не так удобны для постоянного пользования.

Лестница прямая

Лестница с поворотом на 90°

Лестница с поворотом на 180°

Лестница винтовая

Лестницы по конструкции поворота

Лестницы с площадкой. Включают в себя одну или несколько горизонтальных площадок, которые используются как поворотный элемент между маршами. Это наиболее удачный вариант лестницы с поворотом, поскольку на широкой площадке могут свободно разойтись два человека и ее можно использовать, как место для отдыха, что особенно актуально для пожилых или людей с ограниченными возможностями.

Лестницы с забежными ступенями. Это лестницы, в которых несколько ступеней треугольно-трапициевидной формы расположены под углом к основной линии подъема, образуя своеобразный поворот. Ступени, формирующие поворот, называются забежными. Благодаря тому, что конструкция лестницы изменяет направление подъема равномерно без использования одноуровневой площадки, это позволяет еще больше сэкономить пространство, однако поворотный участок не отличается безопасностью и не позволяет разойтись двум людям. Помимо этого, такие лестницы отличаются сложностью при проектировании, изготовлении и монтаже. Обычно применяется в случаях, когда проем не оставляет других вариантов.

Лестница с поворотной площадкой

Лестница с поворотными ступенями

Основные принципы проектирования лестницы

Лестница должна быть спроектирована таким образом, чтобы обеспечить максимальное удобство эксплуатации при имеющемся проеме, который зачастую не подлежит расширению и имеет достаточно ограниченный размер. При этом важно учитывать особенности людей, которые будут ею пользоваться. Например, если в доме есть дети или пожилые, то лестница должна быть безопасной и удобной для них, в первую очередь.

Угол наклона лестницы

Угол наклона лестницы определяет, насколько крутой или пологой будет лестница. Чем больше угол наклона, тем круче лестница, и наоборот, чем меньше угол наклона, тем положе лестница.

Слишком крутой угол наклона может сделать лестницу трудной для подъема, особенно для пожилых людей или людей с ограниченными физическими возможностями. Слишком пологий угол наклона может сделать лестницу слишком длинной и неудобной для использования.

СП 55.13330.2016 «Дома жилые одноквартирные» ссылается на СП 1.13130.2009 «Системы противопожарной защиты», где указано что уклон маршей лестниц в надземных этажах следует принимать не более 1:2.

СП 118.13330.2022 «Общественные здания и сооружения» для надземных этажей рекомендует применять уклон 1:2.

При этом в качестве минимального документы приводят уклон 1 к 1.

Оптимальные углы наклона лестницы для жилых помещений

Как можно заметить, в нормативных документах нет понятия угла наклона лестницы, есть только упоминания уклона.

Уклон — это показатель крутизны, который равен отношению проекции линии на вертикальную плоскость к проекции этой же линии на горизонтальную плоскость.

Уклон в градусах считается через арктангенс угла: tg α = h / s или α = arctg (h/s)

• h — высота;
• s — ширина/длина.

Размер ступеней лестницы — высота и ширина

Угол наклона лестницы и размер ступеней напрямую связаны между собой. При равном количестве ступеней, у крутой лестницы будет более высокий и короткий шаг, а в случае пологой лестницы, наоборот, ширина проступи увеличивается.

В разрезе комплексного расчета лестницы знание нормативов уклона важно для определения размера ступени. Поскольку только размер ступеней будет в дальнейшем определять удобная лестница или нет, и все остальное характеристики будут «подгоняться» к тому, чтобы сохранить размеры ступеней в пределах оптимальной величины.

Ступень должна обеспечивать опирание ноги полной стопой — т.е. по справочным данным в среднем величина ширины/глубины проступи будет находится в диапазоне от 200 до 320 мм, в зависимости от человека. При увеличении ширины шаг начнет сбиваться, а при сильном уменьшении затруднится спуск.

По статистике, самым крупным размером обуви у мужчин принято считать 45 (46 и далее, больше исключение из правил). При этом средняя длина стопы у такого человека будет составлять около 300 мм. Считается, что ширина проступи такого же размера является комфортной, как для большинства мужчин, так и для женщин. Именно поэтому ступени чаще всего имеют ширину 300 мм.

Для понимания высоты ступеней следует вспомнить понятие уклона. Уклон марша — это отношение высоты марша к его длине, а поскольку длина и высота марша, это есть непрерывный ряд отдельных ступеней, тогда грубо, к ступеням также можно применить это же соотношение.

Например, при общем уклоне 1:1.5, отношение высоты ступени к ее ширине также будет равно 1:1.5, т.е. при ширине ступени 300 мм, ее высота будет 200 мм.

Также важно подчеркнуть, что СП 118.13330.2022 «Общественные здания и сооружения» конкретно определяет, что размер проступей лестниц должен быть 300 мм (допустимо от 280 до 350 мм), а высота ступеней — 150 мм (допустимо от 130 мм до 170 мм).

В качестве примера приводится отношение 1 к 2. Поскольку других нормативных данных по размерам ступеней больше нет, эта пропорция в дальнейшем будет считаться эталонной.

Формула удобной лестницы

Далеко не всегда получается использовать подобный формат ступеней, приходится поступаться высотой или шириной, в угоду ограниченного размера проема. Для того, чтобы сохранить ступени удобными или хотя бы «приемлемыми» в эксплуатации, ориентируются на несколько формул для расчета ступеней:

Формула шага Блонделя. 2 × h + s = 60-65* см

Формула удобства. h + s = 45-47 см

Формула безопасности. s − h = 6-18 см

• * — длина шага человека;
• h — высота ступени;
• s — ширина проступи.

Расчет по каждой формуле сводится к перебору значений с проверкой, соблюдается условие или нет. При этом важно помнить, что отношение высоты к ширине должно быть в диапазоне от 1:1 до 1:2 (или хотя бы близкое к этому).

Например, эталонная ступень 300х150 мм, проходит проверку во всех формулах:

• Формула шага. 2 × 15 + 30 = 60 см (условие выполнено)
• Формула удобства. 15 + 30 = 45 см (условие выполнено)
• Формула безопасности. 30 − 15 = 15 см (условие выполнено)

Но ступени 300х200, 300х300, проверку уже не проходят, хотя и подходят по отношению к оптимальной ширине проступи. Соответственно, для своей лестницы требуется подобрать ступень наиболее близкую к эталонной.

В целом, каждая из формул имеет право на существование, они распространены и используются повсеместно. Но стоит отметить, что первая формула является наиболее авторитетной, ее предложил французский архитектор Жак Франсуа Блондель. Он исследовал размеры ступеней научными методами и в своей книге «Cours d’architecture» утверждал, что ширина проступи и высота ступени находятся в пропорциональной зависимости от средней длины шага человека.

Блондель смог рассчитать оптимальную высоту ступени и ширину проступи для среднестатистического человека, по его расчетам они составляют 15-18 см (h) и 27-30 см (s), соответственно. Эти значения не совпадают со значениями свода правил, но также в целом поддерживают идею пропорции 1:2 или близкой к ней.

Размеры ступеней лестницы

Стоит отметить, что не всегда получается попасть в оптимальный диапазон значений. В этом случае при подборе ступеней рекомендуется ориентироваться на рост человека — более высокому человеку можно подобрать более высокую ступень, что позволит увеличить ширину проступи, необходимую при больших размерах стопы. Это справедливо и в обратную сторону.

Высота прохода

Проем для лестницы следует планировать одновременно с самой лестницей или, что еще лучше, на этапе проектирования дома. Этот проем должен быть достаточно большим, чтобы по нему было удобно пройти по всей длине лестницы.

Согласно наблюдениям, человек среднего роста (примерно 180 см) может безопасно перемещаться по проему высотой 185 см. Но при этом он, скорее всего, будет инстинктивно пригибаться, что может вызвать определенный дискомфорт.

Высота прохода лестницы

Рекомендуется, чтобы высота проема, или расстояние от ступеней до потолка было не менее 2 метров, а от верхней части головы человека до потолка — не менее 20 см. При этом важно, что по мере подъема по лестнице эта величина должна сохраняться на протяжении всего марша.

Ширина марша

Ширина марша определяет пропускную способность лестницы, т.е. количество человек, которые могут по ней пройти.

Ширина внутриквартирных и внутридомовых лестниц частных домов должна быть не менее 0.8-1 метра, в домах повышенного комфорта часто используются лестницы шириной 1.25-1.5 метра. Узкие лестницы шириной 0.8 метра допускается пользовать только при условии, что они является одномаршевыми и позволяют поднимать габаритные предметы.

При подборе ширины марша можно ориентироваться на СП 1.13130.2020 «Системы противопожарной защиты. Эвакуационные пути и выходы», там указано, что минимальная ширина марша внутриквартирных лестниц составляет 0.9 м, а для многоквартирных домов — 1.05 м.

Также там есть другие важные упоминания.

Ширина лестничных площадок должна быть не менее ширины марша, а перед входами с распашными дверями — не менее суммы ширины марша и половины ширины двери, но не менее 1.6 м.

Зазор между маршами лестниц и между поручнями ограждений лестничных маршей должен быть шириной не менее 75 миллиметров (за исключением двухмаршевых лестниц двухэтажных зданий высотой не более 12 метров до отметки пола второго этажа, а также лестниц, ведущих в одноэтажный подвал).

Подступенки

Подступенки служат для формирования законченного образа ступеней, они придают лестнице более аккуратный и законченный вид.

Каких-то особых требований к подступенкам не предъявляются. Их изготавливают из строганных досок толщиной 18-25 мм. При этом рекомендуется использовать такую же породы древесины, как и для проступей.

Важно отметить, что подступенки обеспечивают дополнительную опору и в целом повышают устойчивость лестницы на зубчатых косоурах, т.к. позволяют искусственно увеличить сечение несущей балки.

Расчет размеров лестницы

После того, как мы узнали, какая лестница в целом считается оптимальной. Рассмотрим ситуацию, когда дом только строится, проема еще нет и мы вправе сами задавать размеры лестницы для достижения максимально комфортных условий при эксплуатации.

Предположим, что высота от пола первого этажа до пола второго этажа будет равняться 3 метрам, это будет высота лестницы (при условии если ступень второго этажа будет на уровне второго этажа). При этом нам необходимо определить длину лестницы и соответственно длину проема.

Для начала будем отталкиваться от идеальной ситуации: когда ступень должна иметь ширину/глубину 300 мм, а высоту 150 мм.

При высоте проема 3000 мм и высоте ступеней 150 мм, поместится 20 целых прямых ступеней:

3000 мм / 150 мм = 20 ступеней.

При 20 ступенях шириной 300 мм, длина лестницы получится равной 6000 мм:

20 ступеней × 300 мм = 6000 мм.

При этом длина самого косоура, по теореме Пифагора будет равняться:

с² = а² (длина) + b² (высота) ≈ 6708 мм.

Расчет длины косоура

В этой ситуации важно то, что балок такой длины нет в продаже, поскольку они не будут обладать достаточной прочностью. Чаще всего в магазинах будет представлена тетива длиной 4000 мм, максимум можно встретить 5000-6000 мм балки.

Второе замечание — согласно требованиям по противопожарной защите не допускается более 18 подъемов.

Попробуем сделать оптимальную лестницу от обратного. Возьмем за условие, что длина тетивы будет равняться 5000 мм.

Тогда длина лестницы, по той же теореме Пифагора, будет 4000 мм. Напомним, что высота лестницы 3000 мм.

Если проверить угол наклона лестницы по формуле tg α = h / s, то получим значение 36.87° — все в порядке.

Теперь нужно определиться с размером ступеней и их количеством.

Если рассматривать дальше ступень шириной 300 мм, то в результате расчетов выясняется, что целое количество ступеней вписать не получится: 4000 мм / 300 мм = 13.33 ступеней.

И тут нужно или использовать 13 ступеней и срезать косоур, или добавлять 14 ступень, но подпиливать все ступени по ширине. В любом случае, при таком раскладе высота ступени будет равняться от 214 мм до 231 мм (при 14 и 13 ступенях соответственно). Что для среднестатистического человека очень много, напомним, что оптимальный диапазон в районе 15-18 см.

Далее попробуем взять ступень шириной 250 мм. В этом случае у нас получится 16 целых прямых ступеней без остатка (4000 мм / 250 мм = 16 ступеней). Высота ступени при этом будет равна 187.5 мм, что является практически оптимальным по Блонделю. Таким образом остановимся на этом.

При расчете лестницы необходимо учесть размер проема на верхнем этаже. В нашем примере его ширина будет равняться ширине лестницы, а длина будет зависеть от минимальной высоты прохода, которую рекомендуется выдерживать на уровне 200 см от уровня ступеней до потолка вдоль хода. Когда эту величину не получится соблюсти, выступ перекрытия над проемом должен прерваться, чтобы голова не цепляла потолок.

Для того чтобы вычислить длину проема необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями. По сути, нам нужно рассчитать длину катета прямоугольного треугольника.

Согласно условиям, нам известен угол наклона марша 36.87°, минимальная высота прохода должна быть равна 200 см, толщину перекрытия возьмем равным 20 см.

Расчет длины проема под лестницу на втором этаже

Тогда длина катета будет равна:

l = h / tg α = 2200 / 0.75 ≈ 2933 мм.

К этой величине нужно добавить ширину ступени, получается итоговая длина проема на втором этаже:

L = 2933 + 250 = 3183 мм.

Подбор конфигурации лестницы

В примере мы рассмотрели идеальную ситуацию, когда проем планируется под конкретную лестницу. Но так происходит редко.

Обычно лестница в частных домах и двухярусных квартирах проектируется под конкретный существующий проем, причем весьма ограниченный. Во-вторых, даже на этапе проекта мало кто готов пожертвовать полезной площадью под габаритную лестницу, обычно проем идет по остаточному принципу. И в-третьих, далеко не всем нравится лестницы с малым уклоном, например, взрослому крупному мужчине будет комфортнее ходить по более крутой лестнице с высокими ступенями.

Расчет прямой лестницы

Если вернуться к реалиям, то стандартный расчет проводится в обратную сторону, т.е. по заданным размерам проема. Давайте рассмотрим пример одномаршевой лестницы, когда имеется проем длиной 3.5 метра, шириной 2 метра, высотой 3 метра.

В этом случае угол наклона будет равен tg α = 3000 / 3500 = 40.6°.

Это достаточно крутая лестница, не совсем комфортная для пожилых и детей, но в принципе, на приемлемом уровне для среднестатистического взрослого человека.

Если продолжать рассматривать вариант прямой лестницы, то теперь нужно подобрать ступени. Стандартные ступени в магазине обычно шириной 300 мм. При такой длине проема мы получим 3500 мм / 300 мм = 11.66 ≈ 12 ступеней (округляем в большую сторону).

Теперь можно рассчитать высоту ступеней: 3000 мм / 12 ступеней = 250 мм. Вот и первая проблема, высота ступени очень велика.

При этом важно не забывать про отношение высоты ступени к ее ширине (1 к 2), или хотя бы приближенное к этому. Удобные ступени находятся в диапазоне размеров, по высоте: 15-18 см и ширине: 27-30 см.

Далее нужно заняться перебором значений ширины/глубины ступени, чтобы подобрать оптимальную высоту.

Попробуем пройтись по границам допустимых значений ширина: 27 см и высота: 18 см.

При длине ступени 270 мм, мы получим 3500 мм / 270 мм = 12.96 ≈ 13 ступеней. Высотой: 3000 мм / 13 ступеней ≈ 230 мм. Тоже неудобная ступень.

Добавим еще одну. Получатся ступени шириной: 3500 мм / 14 ступеней = 250 мм и высотой: 3000 / 14 ≈ 214 мм. В принципе на этом можно и остановиться, это наилучшие значения которых можно добиться. Если перебирать далее, то получится слишком узкая проступь, чего желательно не допускать, поскольку нога не будет иметь опоры, а это более важный критерий, чем высота ступени.

Расчет лестницы с площадкой

Теперь давайте попробуем разместить в этом же проеме П-образную лестницу на 180° с площадкой. Условия по проему те же самые: длина 3.5 м, ширина 2 м, высота 3 м.

Ширина марша будет равна 1 м, при этом глубину площадки примем равной ширине марша. Предположим, что площадка будет посередине. Таким образом на спуск и подъем останется 2500 мм на каждый марш, и ожидается что будет равное количество ступеней (при этом высота площадки будет равна высоте ступени).

Попробуем подобрать количество ступеней, приняв за исходную ступень шириной 300 мм, высотой 150 мм.

По длине марша 2500 мм, вместится 9 целых ступеней: 2500 / 300 мм = 8.33 ≈ 9 ступеней.

Оценим высоту ступеней с учетом площадки: 3000 мм / (9 × 2 + 1) ≈ 158 мм.

Если провести проверку удобства ступени по формуле Блонделя, то можно увидеть, что тождество справедливо:

158 × 2 + 300 = 600-650 мм.

При этом угол наклона удалось сократить более чем на 10° (по сравнению с прямой), и он равняется:

tg α = (9 × 158) / (3500 - 1000) = 29.63°.

Расчет лестницы с забежными ступенями

Для еще большего сокращения размера лестничной клетки по длине, вместо межэтажной площадки, часто используются поворотные, или иначе забежные ступени.

Главной особенностью данных ступеней является их треугольно-трапециевидная форма: их ширина уменьшается от внешнего края к внутреннему. При этом передвижение возможно только по мере приближению к центру ступени или с внешней стороны, прилегающей к стене.

Проектирование поворотного узла с забежными ступенями выполняется разными графическими методами, с которыми более подробного можно ознакомиться в отдельной статье «Расчет забежных ступеней». Если же рассмотреть технику кратко — то все они основаны на пропорциональном расширении концов поворотных ступеней за счет ширины прямых.

На примере, П-образной лестницы (с поворотом на 180°).

Расчет забежных ступеней

В центре предполагаемых маршей наносятся средние линии, которые соединяются между собой с помощью полуокружности с центром в точке А. Вдоль получившейся линии движения ac, размечаются поворотные и прямые ступени с шириной b в месте пересечения. Разметка ступеней начинается с верхнего элемента и таким образом, чтобы вертикальная линия BC разделяла его по ширине на две одинаковые части.

Следующим шагом является подгон размера забежных ступеней. Для этого рекомендуется выбрать три ближайшие прилегающие прямые ступени (чем больше войдет в расчет, тем плавнее переход, но более трудоемкое изготовление) и вдоль внешнего края последней провести горизонтальную линию DE.

Для этого продолжают линии делений 1 и 2 в направлении прямой DE (пересекаются в точке А) и получают отрезок 1-2 (равный b). Затем на линии OE отмечают точки с шагом равным b, но с учетом расположения в центре поворота. Если ступень одна – точка 1 будет удалена от точки O на расстоянии b/2, а все последующие точки расположатся друг от друга на расстоянии b.

Количество точек на линии OE определяется количеством забежных ступеней, которые необходимо откорректировать.

Затем соединяются точки на прямой с соответствующими точками вдоль средней линии движения, в результате чего на чертеже лестницы образуются контуры поворотных ступеней правильной формы. Аналогичные действия необходимо выполнить и по отношению к правой половине.

Расчет нагрузки на лестницу

Суть расчета нагрузки на лестницу сводится к определению максимальной нагрузки, которую балки могут выдержать без деформации или разрушения.

Алгоритм расчета подробно расписан в СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», по разным материалам есть уточнения в отдельных документах, по дереву — СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции», металлу — СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции», бетону — СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции».

Также детально расчет нагрузки для деревянных конструкций раскрыт в книгах: Шишкин В.Е. «Примеры расчета конструкций из дерева и пластмасс», ЦНИИЭПграждансельстрой «Руководство по проектированию конструкций деревянных панельных жилых домов».

Формулы и порядок расчета по металлическим и бетонным косоурам указаны в материалах: Вахненко П.Ф., Хилобок В.Г., Андрейко Н.Т., Яровой М.Л. «Расчет и конструирование частей жилых и общественных зданий», Линович Л.Е. «Расчет и конструирование частей гражданских зданий», Малахова А.Н., Морозова Д.В. «Проектирование железобетонных и металлических лестниц».

Расчет нагрузки на косоуры

Нагрузка на балку может быть распределенной и сосредоточенной.

В первом случае подразумевается, что давление равномерно распределяется на балки и не изменяется со временем. Сюда относится вес косоуров, ступеней, подступенков, ограждения и прочих статичных элементов.

Сосредоточенная нагрузка — это динамичная нагрузка, т.е. когда человек или какой-то объект, временно оказывает воздействие в определенной площади.

При этом по правилам Сопромата необходимо учитывать тип закрепления каждого конца балки: шарнирно неподвижная опора, шарнирно подвижная опора, жесткая заделка или защемление.

Для упрощения расчета, мы будем считать, что все оказываемые нагрузки будут являться распределенными, а балки закреплены по схеме шарнир-шарнир.

Также нужно вспомнить и понять несколько других моментов.

Как известно, деревянные косоуры для лестницы могут изготавливаться в двух разных форматах:

• в виде зубчатой гребенки (косоур), когда в боковой проекции лестницы виден торец (бок) ступени;
• в виде сплошной балки (тетива), когда ступени крепятся с внутренней стороны в пазы или на кобылки.

Требуемое направление волокон древесины балки

Типовой косоур является менее прочным вариантом по сравнению с тетивой, поскольку при одинаковой первоначальной ширине балки, в первом случае геометрия меняется для создания посадочных мест под ступени, таким образом появляются зоны с ослабленным сечением. И именно место с самым узкой геометрией будет определять несущую способность балки в целом.

При этом, когда лестница в сборе, несущая способность конструкции будет усиливается за счет увеличения сечения балки через ступени и подступенки. Также значительно усиливает лестницу ограждение, которое, по сути, превращает всю конструкцию в ферму.

В качестве примера разберем расчет нагрузки на деревянную балку по книге Шишкина В.Е.

Длина косоура/тетивы

Первое с чего стоит начать, это определить реальную длину косоура.

Рассмотрим вариант прямой одномаршевой лестницы, у которой горизонтальная проекция на пол равна 4000 мм, высота 3000 мм. Ширина марша 1000 мм.

По теореме Пифагора, длина косоура будет равняться 5000 мм.

Угол наклона составит 36.87°. Это значение пригодится чуть позже.

Сбор нагрузок на лестницу

После того, как была определена полная длина косоура следует начать сбор нагрузок.

Распределенная нагрузка может быть равномерной по площади и выражаться в килограмм на метр квадратный и может быть линейной, т.е. распределенной по длине и выражающейся в килограмм на погонный метр. Обе величины взаимно конвертируются через ширину действия. Например, чтобы перевести линейную нагрузку в равномерную, нужно разделить первую на ширину действия (ширину марша).

Рассчитаем собственный вес тетивы. Согласно справочным данным плотность сухой древесины из сосны составляет порядка 500 кг/м³. Длина балки нам известна — 5000 мм, ширина и толщина — нет. Для предварительной оценки массы, возьмем типовую тетиву 5000х300х40 (300 мм ширина, 40 мм толщина).

Объем тетивы: 5000 мм × 300 мм × 40 мм = 60.000.000 мм³ или 0.06 м³.

Общий объем тетивы: 0.06 м³ × 2 шт = 0.12 м³.

Общая масса тетивы: 500 кг/м³ × 0.12 м³ = 60 кг.

Если мы разделим общую массу на полную длину тетивы, то получим значение нагрузки:

60 кг / 5 м = 12 кг/пог.м

Аналогично рассчитаем ступени. Предположим, что на лестнице у нас будет 16 прямых ступеней. Тогда величина глубины ступени будет равняться:

4000 мм / 16 ступеней = 250 мм.

При ширине марша в 1000 мм и толщине типовой доски в 40 мм, получим, что итоговый размер доски 1000х250х40.

Объем ступени: 1000 мм × 250 мм × 40мм = 10.000.000 мм³ = 0.01 м³.

Общая масса: 0.01 м³ × 15 шт × 500 кг/м³ = 75 кг.

Нагрузка: 75 кг / 5 м = 15 кг/пог.м

Также нельзя забывать про ограждения, перила, столбы, подступенки, ковровые покрытия и др. Все это в сумме может весить около 100 кг.

Нагрузка: 100 кг / 5 м = 20 кг/пог.м

Согласно данным сводов правил, временную нагрузку от людей и перемещаемых грузов рекомендуется принимать равной 300 кг/м².

Теперь нужно конвертировать линейную нагрузку в равномерную и сложить все значения. Поскольку ширина марша в нашем случае равняется 1 метру, то 1 кг/пог.м нагрузки будет равняться 1 кг/м².

Итого общая нагрузка: 12 кг/м² + 15 кг/м² + 20 кг/м² + 300 кг/м² = 347 кг/м².

Поскольку мы имеем дело с балками с наклонной осью (согласно книге при угле больше 10°), то постоянную нагрузку, вычисленную на 1 м² поверхности делят на косинус угла, приводя ее к нагрузке 1 м² плана покрытия.

Общая нагрузка = 347 кг/м² / cos 36.87° ≈ 434 кг/м².

Нагрузка на одну тетиву (q) = 434 кг/м² / 2 шт = 217 кг/м².

Расчет косоура/тетивы на прочность и изгиб

После того, как была определена величина нагрузки на балку, необходимо выполнить проверку тетивы на изгиб и прочность.

Вычислим изгибающий момент, т.е. максимальную поперечную силу которое может выдержать тело без нарушения целостности.

M = (q × l²) / 8

• q – величина нагрузки, кг/м²;
• l – величина пролета, м.

M = (217 × 5²) / 8 = 678.125 кгс·м.

Далее это значение нужно перевести в кгс·см, для чего результат умножаем на 100.

Теперь рассчитаем требуемый момент сопротивления.

W_треб = M / R

• М – величина максимального изгибающего момента, кгс·cм;
• R – величина расчетного сопротивления, кгс/см².

R = 210 кгс/см² для древесины 1 сорта.

W_треб = 67812.5 кгс·cм / 210 кгс/см² ≈ 323 см³.

После того, как мы узнали требуемый момент сопротивления, можно проверить предполагаемую балку 5000х300х40 на соответствие. Для этого воспользуемся формулой:

W = (b × h²) / 6

• b – толщина балки, см;
• h – ширина балки, см.

W = (4 × 30²) / 6 = 600 см³.

Как видно, по прочности балка обладает существенным запасом.

Теперь проверим балку на изгиб. Для этого воспользуемся формулой:

f = (5 × q × l⁴) / (384 × E × J)

• q – величина линейной нагрузки, кг/см;
• l – величина пролета, см;
• E – модуль упругости, кгс/см²;
• J – момент инерции, см⁴.

Модуль упругости (Е) для древесины обычно принимается равным 100 000 кгс/см², момент инерции определяется по формуле:

J = (b × h³) / 12

• b – высота балки, см;
• h – ширина балки, см.

J = (4 × 30³) / 12 = 9000 см⁴.

f = (5 × 2.17 × 500⁴) / (384 × 100000 × 9000) = 678125000000 / 345600000000 ≈ 1.96 см.

Согласно СП 20.13330.2016 предельные прогибы лестничных маршей при длине балки от 3 до 6 метров, равны от l/150 до l/200 соответственно. Таким образом предельный прогиб будет находится в диапазоне:

f_доп = 500 / 200 = 2.5 см.

f_доп = 500 / 150 ≈ 3.4 см.

Т.е. по изгибу балка также находится в допустимых пределах.

Минимальная ширина косоура

Теперь рассмотрим ситуацию, если вместо тетивы будет использоваться зубчатый косоур. Предположим, что изначальная балка имеет такой же размер 5000х300х40, где 300 мм — ширина балки.

В первую очередь необходимо определить минимальную ширину косоура, т.е. ту сплошную ширину, которая останется после распила верхней части балки под посадочные места для ступеней.

Характеристики косоура

Для этого необходимо определить ширину, которая будет использоваться под ступени. Поскольку распил представляет собой форму прямоугольника, у которого у нас уже известны стороны: ширина ступени — 250 мм, высота — 187.5 мм, определим биссектрису, которая будет являться стороной сечения.

f = √2 × ((a × b) / (a + b)) ≈ 151.5 мм.

В результате из общей ширины балки, нам нужно исключить 151.5 мм под ступени, в результате получится минимальная ширина косоура: 300 мм – 151.5 мм = 148.5 мм ≈ 148 см. Округлим в меньшую сторону для упрощения расчета.

Теперь выполним расчет косоура на прочность и изгиб по аналогичной тетиве схеме.

Пренебрежем незначительной разницей в весе между цельной тетивой и распиленным косоуром, и примем за условие, что нагрузка на один косоур будет такой же, как и в случае с тетивой, т.е. равной 217 кг/м² (при общей 434 кг/м²).

Требуемый момент сопротивления будет также равен:

W_треб = 67812.5 кгс·cм / 210 кгс/см² ≈ 323 см³.

Проверим косоур на соответствие:

W = (4 × 14.8²) / 6 ≈ 146 см³.

Балка не проходит по прочности более чем в два раза. В этом случае есть два пути: менять балку на другую с большим сечением и/или увеличивать количество косоуров, чтобы нагрузка распределялась.

Среди самых «мощных» пятиметровых балок, можно встретить более широкую 5000х360х40 и более толстую 5000х300х60.

Если сделать косоур на основе первой, то ее момент сопротивления будет равен:

W = (4 × 20.8²) / 6 ≈ 288 см³.

Если на основе второй:

W = (6 × 14.8²) / 6 ≈ 219 см³.

Как можно увидеть, при замене балки в любом случае проблема не решается, поэтому нужно также увеличивать количество косоуров.

В этом случае общая нагрузка будет разделена на три балки: 434 кг/м² / 3 = 108 кг/м².

Тогда изгибающий момент будет равен:

M = (108 × 5²) / 8 = 337.5 кгс·м.

W_треб = 33750 кгс·cм / 210 кгс/см² ≈ 161 см³.

Таким образом косоур из любой балки (5000х360х40 или 5000х300х60) будет отвечать требованиям по прочности. Дальше в расчетах будем использовать первый, поскольку он обладает большим запасом устойчивости.

Следующая проверка на изгиб. Определим момент инерции косоура:

J = (4 × 20.8³) / 12 ≈ 3000 см⁴.

После этого можно сформировать конечную формулу на изгиб:

f = (5 × 1.08 × 500⁴) / (384 × 100000 × 3000) = 337500000000 / 115200000000 ≈ 2.93 см.

Как было уже отмечено ранее, для балки длиной от 3 до 6 метров, предельный прогиб будет находиться в диапазоне от 2.5 до 3.4 см. Данный косоур не превышает верхнюю отметку, но находится в довольно опасно опасной зоне.

Однако следует помнить, что этот расчет проводился для специфичного случая с максимальными нормо-нагрузками. При установке на лестницу подступенков и ограждений, жесткость конструкции будет дополнительно усилена.

Расчет толщины ступеней

Ступени лестницы должны быть достаточно прочными и устойчивыми для обеспечения безопасности при перемещении.

Расчет толщины ступеней полностью повторяет расчет нагрузки на косоур, за единственным исключением. Ступени находятся строго в горизонтальной плоскости, поэтому не испытывают никаких вертикальных нагрузок.

В качестве примера, рассмотрим самую ходовую ступень в магазинах — 1000х300х40.

Ступень должна выдерживать динамическую нагрузку в 300 кг/м² и нагрузку собственного веса.

Если также принять за условие, что плотность древесины будет 500 кг/м³, то масса одной ступени будет 6 кг.

Площадь ступени 0.3 м², значит нагрузка на 1 м² будет равна 20 кг/м².

Итого общая нагрузка: q = 320 кг/м².

Изгибающий момент: M = (320 × 1²) / 8 = 40 кгс·м = 4000 кгс·см.

Требуемый момент сопротивления: W_треб = 4000 кгс·cм / 210 кгс/см² ≈ 19 см³.

Расчетный момент сопротивления: W = (30 × 4²) / 6 = 80 см³.

Запас по прочности для ступени более чем в 4 раза.

Теперь определим изгиб ступени. Начнем с момента инерции:

J = (30 × 4³) / 12 = 160 см⁴.

Переведем нагрузку q в линейную. Для этого разделим ее на ширину действия:

q_лин = 320 кг/м² × 0.3 м ≈ 96 кг/м.

Итоговый расчет изгиба ступени:

f = (5 × 0.96 × 100⁴) / (384 × 100000 × 160) = 480000000 / 6144000000 ≈ 0.08 см

Согласно СП 20.13330.2016 предельные прогибы элементов лестницы при длине доски до 1 метра включительно, равны l/120.

f_доп = 100 / 120 = 0.83 см.

Ступень также проходит проверку на изгиб.

Ограждение лестницы

Составной частью лестниц является ограждение (балюстрада). Ограждение лестницы служит для предотвращения падений и обеспечения поддержки при подъеме и спуске. Конструктивно состоит из опорных столбов, балясин и перил/поручней.

Требования к ограждению лестницы

Опорный столб — является несущим элементом конструкции. Размеры стандартного столба: высота - от 1000 до 1300 мм, сечение - от 70х70 мм до 120х120 мм. Очень важно, чтобы сечение столба соответствовало ширине поручня. Поручень не должен выходить за пределы столба в точке их смыкания.

Балясины представляют собой фигурные столбы, которые также поддерживают поручни. Их назначение - быть преградой на пути возможного падения. Поэтому расстояние между ними должно быть не более 150 мм по центрам. При этом толщина балясин (сечение) решающей роли не играет. Она может варьироваться от З0 до 80 мм.

Поручень — это элемент ограждения, который служит для опоры на него рукой и придает конструкции жесткость и надежность. Его конфигурация должна соответствовать размерам опорного столба и балясины, так как его связующая функция является приоритетной.

Высота поручней должна быть удобной для опирания на них рукой — для среднего человека это значение находится в диапазоне 900–1100 мм.

Обычно поручни изготавливаются из склеенной по всей длине древесины, а при длине свыше 3 метров делают и поперечную склейку. Если ширина лестницы превышает 1100 мм, рекомендуется установить дополнительное ограждение по стене, используя пристенные перила.

Основные документы для проектирования лестницы — требования

При проектировании лестницы мы рекомендуем ознакомиться со строительными нормами и стандартами, которые регулируют размеры ступеней, подступенков, перил, площадок и других элементов для обеспечения безопасности использования.

Но в России нет единого нормативного документа, который бы предъявлял строгие требования к лестницам в малоэтажных домах. Есть только отдельные стандарты для жилых, общественных и производственных зданий, которые, в частности, затрагивают обустройство лестниц и лестничных площадок и на которые следует обратить внимание.

• СП 64.13330.2017 (СНиП II-25-80) «Деревянные конструкции»
• ГОСТ 23120-2016 «Лестницы маршевые, площадки и ограждения стальные»
• ГОСТ 25772-2021 «Ограждения металлические лестниц, балконов, крыш, лестничных маршей и площадок»
• ГОСТ 9818-2015 «Марши и площадки лестниц железобетонные»
• ГОСТ 8717-2016 «Ступени бетонные и железобетонные»
• СП 20.13330.2016 (СНиП 2.01.07-85) «Нагрузки и воздействия»
• СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»
• СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции»
• СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции»
• СП 118.13330.2022 (СНиП 2.08.02-89) «Общественные здания и сооружения»
• СП 55.13330.2016 (СНиП 31-02-2001) «Дома жилые одноквартирные»
• СП 54.13330.2016 (СНиП 31-01-2003) «Здания жилые многоквартирные»
• СП 112.13330.2011 (СНиП 21-01-97) «Пожарная безопасность зданий и сооружений»
• СП 1.13130.2020 «Системы противопожарной защиты. Эвакуационные пути и выходы»

Также немаловажным будет получить представление о теоретических данных расчета лестницы. Для этого можно прочитать следующие источники:

• Савельев А.А. «Лестницы. Расчет и монтаж»
• Шишкин В.Е. «Примеры расчета конструкций из дерева и пластмасс»
• ЦНИИЭПграждансельстрой «Руководство по проектированию конструкций деревянных панельных жилых домов»
• Вахненко П.Ф., Хилобок В.Г., Андрейко Н.Т., Яровой М.Л. «Расчет и конструирование частей жилых и общественных зданий»
• Линович Л.Е. «Расчет и конструирование частей гражданских зданий»
• Малахова А.Н., Морозова Д.В. «Проектирование железобетонных и металлических лестниц»